Achille et la tortue
La théorie relative de la monnaie développe un raisonnement qui, sur une base discrète, procède par intégration pour aboutir à un résultat continu. Ce type de raisonnement procède du calcul différentiel, comprenant le calcul intégral et son inverse, le calcul infinitésimal.
Le calcul différentiel est couramment utilisé pour traiter des problèmes physiques qui ont leur application dans tous les domaines de l’ingénierie, de l’informatique, à l’énergie, en passant par les voyages spatiaux etc…
Chacun n’a pas forcément eu le temps de se former convenablement à ce raisonnement. Nous allons tenter de l’éclairer en revenant sur les paradoxes sources qui ont leur racine dans la Grèce antique sous le nom du paradoxe d’Achille et la tortue, équivalent dans sa résolution au paradoxe de la flèche de Zénon.
Achille est à 10 mètres derrière la tortue. Achille va à une vitesse mesurée de 10 m/s tandis que la tortue avance d’une vitesse mesurée de 1 m/s. Comment Achille peut-il dépasser la tortue alors qu’à chaque fois qu’il rejoint le point où était la tortue, la tortue a avancé ? On en finit pas de compter les étapes ! En effet :
1ère étape : Au bout d’une 1 seconde Achille a parcouru 10 mètres et rejoint le point où était la tortue, et donc la tortue se trouve elle 1 mètre plus loin !
2ème étape : Au bout de 1/10 de seconde Achille a parcouru le mètre nécessaire, mais alors la tortue a avancé de 1/10 mètre !
3ème étape : Au bout de 1/100 de seconde Achille a parcouru le 1/10 de mètre nécessaire mais alors la tortue a avancé de 1/100 de mètre !
Tortue (wikimedia)
nème étape : Au bout de de 1/10n seconde Achille a parcouru 1/10n-1mètre mais alors la tortue a avancé de 1/10n mètre !
Nous avons donc une somme de n temps successifs :
(A) Sn = 1 + 1/10 + 1/10² + 1/10³ + … + 1/10n
Et là, la clé consiste à démontrer que cette série qui ne finit apparemment pas, finit tout de même par représenter un temps fini… Démontrons le !
Si nous multiplions Sn par 1/10 nous multiplions chacun des n termes par 1/10 :
(B) 1/10 Sn = 1/10 + 1/10² + 1/10³ +… + 1/10n + 1/10n+1
Et donc maintenant si nous faisons (A) – (B) nous obtenons, miracle de la suppression de tous les termes égaux dans (A) et (B) compris entre 1/10 et 1/10n+1 :
Et comme Sn – 1/10 Sn = 9/10 Sn
On en déduit donc que Sn = 10/9 (1 – 1/10n+1)
Quand n tend vers l’infini on voit donc facilement sous cette forme que le terme 1/10n+1 tend lui vers zéro. On obtient donc au final pour n infini une valeur limite L = 10/9 pour Sn.
Conclusion :
Achille rattrape donc bien la tortue au bout d’un temps fini de 10/9 de seconde, soit en décimal 1,111… seconde. Achille aura donc parcouru une distance finie de 11,111… mètre et la tortue elle 1,111… mètre.
Et l’on comprend qu’en fait on a surtout divisé arbitrairement un temps fini, en une infinité de tronçons de plus en plus courts, comme si l’on avait voulu réaliser un film en prenant une succession de clichés de plus en plus rapidement.
Evidemment si l’on fait cela, le film obtenu est un film qui ne finit pas et où Achille ne rattrape pas la tortue, parce que cela revient visuellement à ralentir de plus en plus l’action au fur et à mesure que Achille se rapproche du point où il va rattraper la tortue, donnant ainsi l’illusion qu’il ne la rattrapera jamais.
L’interprétation donnée ici est donc que le paradoxe résulte du choix d’un référentiel décéléré relativement à un phénomène donné.
Au delà de la première conclusion
Mais allons plus loin. La recherche de la symétrie étant l’essence même de l’analyse, ce qui peut apparaître comme impossible à atteindre dans un temps fini peut donc ne résulter que de l’illusion due au choix d’un mauvais référentiel, tout autant que ce qui peut apparaître comme atteignable peut donc s’avérer être inatteignable en choisissant le référentiel approprié.
Vous croyez donc maintenant qu’Achille va rattraper la tortue ? Naïf que vous êtes !
En réalité « la tortue » est le nom mal traduit de ḡX demi-dieu maître des illusions temporelles, l’enfant caché de Cronos (né sous X, mais on vient de retrouver la preuve de sa paternité dans les caves secrètes de la Banque Centrale de Grèce). D’ailleurs étudier une tortue qui avance à 1 m/s aurait dû réveiller les soupçons…
Rhéa présentant une pierre emmaillotée à Cronos (wikimedia)
En réalité donc ḡX n’a de vitesse observée que discrète, car toute collection de mesure est discrète. Or il s’avère que ce qui semblait aller à 1 m/s n’était en réalité que le contact du pied gauche de ḡX foulant le sol, du talon (pas le talon d’Achille donc) aux orteils…A peine Achille semble avoir rattrapé les orteils de ḡX au bout de 1,111… seconde, que le pied droit de ḡX se pose alors 10 mètres plus loin…
Tandis que l’on aurait mesuré que la vitesse de passage du contact de son pied sur le sol, ḡX continue de marcher à son propre rythme… (image wikimedia)
N’aviez-vous donc pas compris La Fontaine ? « Rien ne sert de courir il faut partir à point » nous a enseigné le grand homme, nous démontrant que la tortue peut bien gagner sa course face au lièvre.
Mais qui est lièvre et qui est tortue ? Puisque les mesures sont par essence de nature discrète, l’incertitude conceptuelle est immuable.Le paradoxe est donc relancé dans un référentiel plus vaste.
Mais maintenant, si vous croyez avoir compris le fin mot de l’histoire, c’est que vous croyez qu’il existe des concepts capables de réifier l’Univers. C’est pourquoi je finirai ce post par une fin valide.ḡfin
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