Évaluation des mains au poker

Présentation

Il s’agit de la première optimisation et s’inspire des degrés de libertés l’on peut retrouver dans les équations. On part du principe que évaluer les probabilité entre contre est équivalent a contre c’est à dire que les couleurs peuvent être substituées les unes aux autres sans changer les probabilités.

Tant qu’une couleur n’a pas été « posée », elle peut être substituée par n’importe quelle autre. Cela simplifier les calculs répétitifs, par exemple :

contre

contre

contre

contre

contre

contre

va pouvoir être simplifié en

1 * contre (les deux mains partagent les couleurs)

4 * contre (les deux mains partagent une couleur)

1 * contre (les deux mains ne partagent pas de couleur)

Selon le nombre de joueurs disutant la confrontation, le nombre de calculs à faire peut déjà être diminué par 2 ou plus : il est possible d’appliquer récursivement cette opération pour chacun des joueurs, en fonction des couleurs qui ont été utilisées précédemment.

Implémentation

Il « suffit » de tenir une table de correspondance entre les couleurs réelles, et les couleurs utilisées dans le calcul. Puis, de regrouper les mains du joueur :

1. Au début, la table est vide : aucune couleur n’est fixée, donc deux mains ayant des valeurs identiques (par exemple et ) vont se retrouver regroupée sous la même main, qui sera comptabilisée deux fois.
2. Ensuite, pour chaque main ainsi générée, on va regrouper les mains du joueur suivant. Sauf que cette fois-ci la table de correspondance n’est plus vide : elle a déjà été rempli lors de la phase 1; certaines mains ne pourront donc pas être regroupées entre elles.
3. On répète la phase 2 pour chaque joueur, à chaque fois le nombre de couleurs libre est réduit. Quand on arrive au dernier joueur, on lance le calcul, auquel on applique le facteur de multiplication, calculé en fonction du nombre de mains qui ont étés regroupées pour l’ensemble des joueurs.

Partitions

La première étape est de réaliser une partition des mains possibles du joueur. Pour chaque joueur, il faut commencer par créer des groupes de mains tel que :

• chaque groupe pris pair à pair ne contient aucune carte en commun
• il est possible de reconstituer l’ensemble des mains des joueurs par une combinaison de ces groupes.

On va se servir des opérations de base pour découper un ensemble pair à pair, en prenant à chaque fois l’élément unique que l’on applique ensuite à l’ensemble suivant.

let explode =

  let rec partition clean current = function
    | [] -> current, clean
    | hd::tl ->
        if S.disjoint current hd || S.equal current hd then
          partition (hd::clean) current tl
        else
          let s1::s2 = split current hd
          in List.unique ~eq:S.equal (partition s2 s1 ((tl @ clean)))

  and process_list checked = function
    | []       -> checked
    | hd :: tl -> (
        match partition [] hd tl with
        | cleaned, []  -> cleaned::checked
        | cleaned, tl' -> process_list (cleaned::checked) tl'
      )

  in process_list []
  %> List.unique ~eq:S.equal

Énumérer

Ensuite, nous allons énumérer l’ensemble des combinaisons possible de ces groupes. Il existe quelques algorithmes permettant de générer la liste des combinaisons données pour un rang donné.

Toutefois, nous travaillons ici sur des combinaisons avec répétitions (une même partition peut êre présente plusieurs fois), ce qui change le nombre de combinaisons disponibles.

Pour chacune de ces combinaison, il faut maintenant tester toutes les permutations possibles, et, pour chacune d’elle, vérifier si cette permutation peut être présente ou non dans la confrontation. Si l’une d’entre elle est possible, alors on peut lancer le calcul, et garder le résultat au cas où une autre permutation de la même combinaison pourrait correspondre.

Assembler

Pour terminer, il faut pouvoir assembler les résulats. Il suffit de garder le nombre de mains évaluées, et le nombre de mains gagnées pour chaque joueur, cela peut se faire au fil de l’eau, en additionnant chaque nouveau résulat au résultat final. La probabilité de gagner se fait en calculant le rapport.